Branch data Line data Source code
1 : : /*
2 : : * ====================================================
3 : : * Copyright (C) 1993 by Sun Microsystems, Inc. All rights reserved.
4 : : *
5 : : * Developed at SunPro, a Sun Microsystems, Inc. business.
6 : : * Permission to use, copy, modify, and distribute this
7 : : * software is freely granted, provided that this notice
8 : : * is preserved.
9 : : * ====================================================
10 : : */
11 : :
12 : : /*
13 : : * Copyright (c) 2008 Stephen L. Moshier <steve@moshier.net>
14 : : *
15 : : * Permission to use, copy, modify, and distribute this software for any
16 : : * purpose with or without fee is hereby granted, provided that the above
17 : : * copyright notice and this permission notice appear in all copies.
18 : : *
19 : : * THE SOFTWARE IS PROVIDED "AS IS" AND THE AUTHOR DISCLAIMS ALL WARRANTIES
20 : : * WITH REGARD TO THIS SOFTWARE INCLUDING ALL IMPLIED WARRANTIES OF
21 : : * MERCHANTABILITY AND FITNESS. IN NO EVENT SHALL THE AUTHOR BE LIABLE FOR
22 : : * ANY SPECIAL, DIRECT, INDIRECT, OR CONSEQUENTIAL DAMAGES OR ANY DAMAGES
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24 : : * ACTION OF CONTRACT, NEGLIGENCE OR OTHER TORTIOUS ACTION, ARISING OUT OF
25 : : * OR IN CONNECTION WITH THE USE OR PERFORMANCE OF THIS SOFTWARE.
26 : : */
27 : :
28 : : /* lgammal_r(x, signgamp)
29 : : * Reentrant version of the logarithm of the Gamma function
30 : : * with user provide pointer for the sign of Gamma(x).
31 : : *
32 : : * Method:
33 : : * 1. Argument Reduction for 0 < x <= 8
34 : : * Since gamma(1+s)=s*gamma(s), for x in [0,8], we may
35 : : * reduce x to a number in [1.5,2.5] by
36 : : * lgamma(1+s) = log(s) + lgamma(s)
37 : : * for example,
38 : : * lgamma(7.3) = log(6.3) + lgamma(6.3)
39 : : * = log(6.3*5.3) + lgamma(5.3)
40 : : * = log(6.3*5.3*4.3*3.3*2.3) + lgamma(2.3)
41 : : * 2. Polynomial approximation of lgamma around its
42 : : * minimun ymin=1.461632144968362245 to maintain monotonicity.
43 : : * On [ymin-0.23, ymin+0.27] (i.e., [1.23164,1.73163]), use
44 : : * Let z = x-ymin;
45 : : * lgamma(x) = -1.214862905358496078218 + z^2*poly(z)
46 : : * 2. Rational approximation in the primary interval [2,3]
47 : : * We use the following approximation:
48 : : * s = x-2.0;
49 : : * lgamma(x) = 0.5*s + s*P(s)/Q(s)
50 : : * Our algorithms are based on the following observation
51 : : *
52 : : * zeta(2)-1 2 zeta(3)-1 3
53 : : * lgamma(2+s) = s*(1-Euler) + --------- * s - --------- * s + ...
54 : : * 2 3
55 : : *
56 : : * where Euler = 0.5771... is the Euler constant, which is very
57 : : * close to 0.5.
58 : : *
59 : : * 3. For x>=8, we have
60 : : * lgamma(x)~(x-0.5)log(x)-x+0.5*log(2pi)+1/(12x)-1/(360x**3)+....
61 : : * (better formula:
62 : : * lgamma(x)~(x-0.5)*(log(x)-1)-.5*(log(2pi)-1) + ...)
63 : : * Let z = 1/x, then we approximation
64 : : * f(z) = lgamma(x) - (x-0.5)(log(x)-1)
65 : : * by
66 : : * 3 5 11
67 : : * w = w0 + w1*z + w2*z + w3*z + ... + w6*z
68 : : *
69 : : * 4. For negative x, since (G is gamma function)
70 : : * -x*G(-x)*G(x) = pi/sin(pi*x),
71 : : * we have
72 : : * G(x) = pi/(sin(pi*x)*(-x)*G(-x))
73 : : * since G(-x) is positive, sign(G(x)) = sign(sin(pi*x)) for x<0
74 : : * Hence, for x<0, signgam = sign(sin(pi*x)) and
75 : : * lgamma(x) = log(|Gamma(x)|)
76 : : * = log(pi/(|x*sin(pi*x)|)) - lgamma(-x);
77 : : * Note: one should avoid compute pi*(-x) directly in the
78 : : * computation of sin(pi*(-x)).
79 : : *
80 : : * 5. Special Cases
81 : : * lgamma(2+s) ~ s*(1-Euler) for tiny s
82 : : * lgamma(1)=lgamma(2)=0
83 : : * lgamma(x) ~ -log(x) for tiny x
84 : : * lgamma(0) = lgamma(inf) = inf
85 : : * lgamma(-integer) = +-inf
86 : : *
87 : : */
88 : :
89 : : #include <openlibm_math.h>
90 : :
91 : : #include "math_private.h"
92 : :
93 : : static const long double
94 : : half = 0.5L,
95 : : one = 1.0L,
96 : : pi = 3.14159265358979323846264L,
97 : : two63 = 9.223372036854775808e18L,
98 : :
99 : : /* lgam(1+x) = 0.5 x + x a(x)/b(x)
100 : : -0.268402099609375 <= x <= 0
101 : : peak relative error 6.6e-22 */
102 : : a0 = -6.343246574721079391729402781192128239938E2L,
103 : : a1 = 1.856560238672465796768677717168371401378E3L,
104 : : a2 = 2.404733102163746263689288466865843408429E3L,
105 : : a3 = 8.804188795790383497379532868917517596322E2L,
106 : : a4 = 1.135361354097447729740103745999661157426E2L,
107 : : a5 = 3.766956539107615557608581581190400021285E0L,
108 : :
109 : : b0 = 8.214973713960928795704317259806842490498E3L,
110 : : b1 = 1.026343508841367384879065363925870888012E4L,
111 : : b2 = 4.553337477045763320522762343132210919277E3L,
112 : : b3 = 8.506975785032585797446253359230031874803E2L,
113 : : b4 = 6.042447899703295436820744186992189445813E1L,
114 : : /* b5 = 1.000000000000000000000000000000000000000E0 */
115 : :
116 : :
117 : : tc = 1.4616321449683623412626595423257213284682E0L,
118 : : tf = -1.2148629053584961146050602565082954242826E-1,/* double precision */
119 : : /* tt = (tail of tf), i.e. tf + tt has extended precision. */
120 : : tt = 3.3649914684731379602768989080467587736363E-18L,
121 : : /* lgam ( 1.4616321449683623412626595423257213284682E0 ) =
122 : : -1.2148629053584960809551455717769158215135617312999903886372437313313530E-1 */
123 : :
124 : : /* lgam (x + tc) = tf + tt + x g(x)/h(x)
125 : : - 0.230003726999612341262659542325721328468 <= x
126 : : <= 0.2699962730003876587373404576742786715318
127 : : peak relative error 2.1e-21 */
128 : : g0 = 3.645529916721223331888305293534095553827E-18L,
129 : : g1 = 5.126654642791082497002594216163574795690E3L,
130 : : g2 = 8.828603575854624811911631336122070070327E3L,
131 : : g3 = 5.464186426932117031234820886525701595203E3L,
132 : : g4 = 1.455427403530884193180776558102868592293E3L,
133 : : g5 = 1.541735456969245924860307497029155838446E2L,
134 : : g6 = 4.335498275274822298341872707453445815118E0L,
135 : :
136 : : h0 = 1.059584930106085509696730443974495979641E4L,
137 : : h1 = 2.147921653490043010629481226937850618860E4L,
138 : : h2 = 1.643014770044524804175197151958100656728E4L,
139 : : h3 = 5.869021995186925517228323497501767586078E3L,
140 : : h4 = 9.764244777714344488787381271643502742293E2L,
141 : : h5 = 6.442485441570592541741092969581997002349E1L,
142 : : /* h6 = 1.000000000000000000000000000000000000000E0 */
143 : :
144 : :
145 : : /* lgam (x+1) = -0.5 x + x u(x)/v(x)
146 : : -0.100006103515625 <= x <= 0.231639862060546875
147 : : peak relative error 1.3e-21 */
148 : : u0 = -8.886217500092090678492242071879342025627E1L,
149 : : u1 = 6.840109978129177639438792958320783599310E2L,
150 : : u2 = 2.042626104514127267855588786511809932433E3L,
151 : : u3 = 1.911723903442667422201651063009856064275E3L,
152 : : u4 = 7.447065275665887457628865263491667767695E2L,
153 : : u5 = 1.132256494121790736268471016493103952637E2L,
154 : : u6 = 4.484398885516614191003094714505960972894E0L,
155 : :
156 : : v0 = 1.150830924194461522996462401210374632929E3L,
157 : : v1 = 3.399692260848747447377972081399737098610E3L,
158 : : v2 = 3.786631705644460255229513563657226008015E3L,
159 : : v3 = 1.966450123004478374557778781564114347876E3L,
160 : : v4 = 4.741359068914069299837355438370682773122E2L,
161 : : v5 = 4.508989649747184050907206782117647852364E1L,
162 : : /* v6 = 1.000000000000000000000000000000000000000E0 */
163 : :
164 : :
165 : : /* lgam (x+2) = .5 x + x s(x)/r(x)
166 : : 0 <= x <= 1
167 : : peak relative error 7.2e-22 */
168 : : s0 = 1.454726263410661942989109455292824853344E6L,
169 : : s1 = -3.901428390086348447890408306153378922752E6L,
170 : : s2 = -6.573568698209374121847873064292963089438E6L,
171 : : s3 = -3.319055881485044417245964508099095984643E6L,
172 : : s4 = -7.094891568758439227560184618114707107977E5L,
173 : : s5 = -6.263426646464505837422314539808112478303E4L,
174 : : s6 = -1.684926520999477529949915657519454051529E3L,
175 : :
176 : : r0 = -1.883978160734303518163008696712983134698E7L,
177 : : r1 = -2.815206082812062064902202753264922306830E7L,
178 : : r2 = -1.600245495251915899081846093343626358398E7L,
179 : : r3 = -4.310526301881305003489257052083370058799E6L,
180 : : r4 = -5.563807682263923279438235987186184968542E5L,
181 : : r5 = -3.027734654434169996032905158145259713083E4L,
182 : : r6 = -4.501995652861105629217250715790764371267E2L,
183 : : /* r6 = 1.000000000000000000000000000000000000000E0 */
184 : :
185 : :
186 : : /* lgam(x) = ( x - 0.5 ) * log(x) - x + LS2PI + 1/x w(1/x^2)
187 : : x >= 8
188 : : Peak relative error 1.51e-21
189 : : w0 = LS2PI - 0.5 */
190 : : w0 = 4.189385332046727417803e-1L,
191 : : w1 = 8.333333333333331447505E-2L,
192 : : w2 = -2.777777777750349603440E-3L,
193 : : w3 = 7.936507795855070755671E-4L,
194 : : w4 = -5.952345851765688514613E-4L,
195 : : w5 = 8.412723297322498080632E-4L,
196 : : w6 = -1.880801938119376907179E-3L,
197 : : w7 = 4.885026142432270781165E-3L;
198 : :
199 : : static const long double zero = 0.0L;
200 : :
201 : : static long double
202 : 0 : sin_pi(long double x)
203 : : {
204 : : long double y, z;
205 : : int n, ix;
206 : : u_int32_t se, i0, i1;
207 : :
208 : 0 : GET_LDOUBLE_WORDS (se, i0, i1, x);
209 : 0 : ix = se & 0x7fff;
210 : 0 : ix = (ix << 16) | (i0 >> 16);
211 [ # # ]: 0 : if (ix < 0x3ffd8000) /* 0.25 */
212 : 0 : return sinl (pi * x);
213 : 0 : y = -x; /* x is assume negative */
214 : :
215 : : /*
216 : : * argument reduction, make sure inexact flag not raised if input
217 : : * is an integer
218 : : */
219 : 0 : z = floorl (y);
220 [ # # ]: 0 : if (z != y)
221 : : { /* inexact anyway */
222 : 0 : y *= 0.5;
223 : 0 : y = 2.0*(y - floorl(y)); /* y = |x| mod 2.0 */
224 : 0 : n = (int) (y*4.0);
225 : : }
226 : : else
227 : : {
228 [ # # ]: 0 : if (ix >= 0x403f8000) /* 2^64 */
229 : : {
230 : 0 : y = zero; n = 0; /* y must be even */
231 : : }
232 : : else
233 : : {
234 [ # # ]: 0 : if (ix < 0x403e8000) /* 2^63 */
235 : 0 : z = y + two63; /* exact */
236 : 0 : GET_LDOUBLE_WORDS (se, i0, i1, z);
237 : 0 : n = i1 & 1;
238 : 0 : y = n;
239 : 0 : n <<= 2;
240 : : }
241 : : }
242 : :
243 [ # # # # : 0 : switch (n)
# ]
244 : : {
245 : 0 : case 0:
246 : 0 : y = sinl (pi * y);
247 : 0 : break;
248 : 0 : case 1:
249 : : case 2:
250 : 0 : y = cosl (pi * (half - y));
251 : 0 : break;
252 : 0 : case 3:
253 : : case 4:
254 : 0 : y = sinl (pi * (one - y));
255 : 0 : break;
256 : 0 : case 5:
257 : : case 6:
258 : 0 : y = -cosl (pi * (y - 1.5));
259 : 0 : break;
260 : 0 : default:
261 : 0 : y = sinl (pi * (y - 2.0));
262 : 0 : break;
263 : : }
264 : 0 : return -y;
265 : : }
266 : :
267 : :
268 : : long double
269 : 0 : lgammal_r(long double x, int *signgamp)
270 : : {
271 : : long double t, y, z, nadj, p, p1, p2, q, r, w;
272 : : int i, ix;
273 : : u_int32_t se, i0, i1;
274 : :
275 : 0 : *signgamp = 1;
276 : 0 : GET_LDOUBLE_WORDS (se, i0, i1, x);
277 : 0 : ix = se & 0x7fff;
278 : :
279 [ # # ]: 0 : if ((ix | i0 | i1) == 0)
280 : : {
281 [ # # ]: 0 : if (se & 0x8000)
282 : 0 : *signgamp = -1;
283 : 0 : return one / fabsl (x);
284 : : }
285 : :
286 : 0 : ix = (ix << 16) | (i0 >> 16);
287 : :
288 : : /* purge off +-inf, NaN, +-0, and negative arguments */
289 [ # # ]: 0 : if (ix >= 0x7fff0000)
290 : 0 : return x * x;
291 : :
292 [ # # ]: 0 : if (ix < 0x3fc08000) /* 2^-63 */
293 : : { /* |x|<2**-63, return -log(|x|) */
294 [ # # ]: 0 : if (se & 0x8000)
295 : : {
296 : 0 : *signgamp = -1;
297 : 0 : return -logl (-x);
298 : : }
299 : : else
300 : 0 : return -logl (x);
301 : : }
302 [ # # ]: 0 : if (se & 0x8000)
303 : : {
304 : 0 : t = sin_pi (x);
305 [ # # ]: 0 : if (t == zero)
306 : 0 : return one / fabsl (t); /* -integer */
307 : 0 : nadj = logl (pi / fabsl (t * x));
308 [ # # ]: 0 : if (t < zero)
309 : 0 : *signgamp = -1;
310 : 0 : x = -x;
311 : : }
312 : :
313 : : /* purge off 1 and 2 */
314 [ # # ]: 0 : if ((((ix - 0x3fff8000) | i0 | i1) == 0)
315 [ # # ]: 0 : || (((ix - 0x40008000) | i0 | i1) == 0))
316 : 0 : r = 0;
317 [ # # ]: 0 : else if (ix < 0x40008000) /* 2.0 */
318 : : {
319 : : /* x < 2.0 */
320 [ # # ]: 0 : if (ix <= 0x3ffee666) /* 8.99993896484375e-1 */
321 : : {
322 : : /* lgamma(x) = lgamma(x+1) - log(x) */
323 : 0 : r = -logl (x);
324 [ # # ]: 0 : if (ix >= 0x3ffebb4a) /* 7.31597900390625e-1 */
325 : : {
326 : 0 : y = x - one;
327 : 0 : i = 0;
328 : : }
329 [ # # ]: 0 : else if (ix >= 0x3ffced33)/* 2.31639862060546875e-1 */
330 : : {
331 : 0 : y = x - (tc - one);
332 : 0 : i = 1;
333 : : }
334 : : else
335 : : {
336 : : /* x < 0.23 */
337 : 0 : y = x;
338 : 0 : i = 2;
339 : : }
340 : : }
341 : : else
342 : : {
343 : 0 : r = zero;
344 [ # # ]: 0 : if (ix >= 0x3fffdda6) /* 1.73162841796875 */
345 : : {
346 : : /* [1.7316,2] */
347 : 0 : y = x - 2.0;
348 : 0 : i = 0;
349 : : }
350 [ # # ]: 0 : else if (ix >= 0x3fff9da6)/* 1.23162841796875 */
351 : : {
352 : : /* [1.23,1.73] */
353 : 0 : y = x - tc;
354 : 0 : i = 1;
355 : : }
356 : : else
357 : : {
358 : : /* [0.9, 1.23] */
359 : 0 : y = x - one;
360 : 0 : i = 2;
361 : : }
362 : : }
363 [ # # # # ]: 0 : switch (i)
364 : : {
365 : 0 : case 0:
366 : 0 : p1 = a0 + y * (a1 + y * (a2 + y * (a3 + y * (a4 + y * a5))));
367 : 0 : p2 = b0 + y * (b1 + y * (b2 + y * (b3 + y * (b4 + y))));
368 : 0 : r += half * y + y * p1/p2;
369 : 0 : break;
370 : 0 : case 1:
371 : 0 : p1 = g0 + y * (g1 + y * (g2 + y * (g3 + y * (g4 + y * (g5 + y * g6)))));
372 : 0 : p2 = h0 + y * (h1 + y * (h2 + y * (h3 + y * (h4 + y * (h5 + y)))));
373 : 0 : p = tt + y * p1/p2;
374 : 0 : r += (tf + p);
375 : 0 : break;
376 : 0 : case 2:
377 : 0 : p1 = y * (u0 + y * (u1 + y * (u2 + y * (u3 + y * (u4 + y * (u5 + y * u6))))));
378 : 0 : p2 = v0 + y * (v1 + y * (v2 + y * (v3 + y * (v4 + y * (v5 + y)))));
379 : 0 : r += (-half * y + p1 / p2);
380 : : }
381 : : }
382 [ # # ]: 0 : else if (ix < 0x40028000) /* 8.0 */
383 : : {
384 : : /* x < 8.0 */
385 : 0 : i = (int) x;
386 : 0 : t = zero;
387 : 0 : y = x - (double) i;
388 : 0 : p = y *
389 : 0 : (s0 + y * (s1 + y * (s2 + y * (s3 + y * (s4 + y * (s5 + y * s6))))));
390 : 0 : q = r0 + y * (r1 + y * (r2 + y * (r3 + y * (r4 + y * (r5 + y * (r6 + y))))));
391 : 0 : r = half * y + p / q;
392 : 0 : z = one; /* lgamma(1+s) = log(s) + lgamma(s) */
393 [ # # # # : 0 : switch (i)
# # ]
394 : : {
395 : 0 : case 7:
396 : 0 : z *= (y + 6.0); /* FALLTHRU */
397 : 0 : case 6:
398 : 0 : z *= (y + 5.0); /* FALLTHRU */
399 : 0 : case 5:
400 : 0 : z *= (y + 4.0); /* FALLTHRU */
401 : 0 : case 4:
402 : 0 : z *= (y + 3.0); /* FALLTHRU */
403 : 0 : case 3:
404 : 0 : z *= (y + 2.0); /* FALLTHRU */
405 : 0 : r += logl (z);
406 : 0 : break;
407 : : }
408 : : }
409 [ # # ]: 0 : else if (ix < 0x40418000) /* 2^66 */
410 : : {
411 : : /* 8.0 <= x < 2**66 */
412 : 0 : t = logl (x);
413 : 0 : z = one / x;
414 : 0 : y = z * z;
415 : 0 : w = w0 + z * (w1
416 : 0 : + y * (w2 + y * (w3 + y * (w4 + y * (w5 + y * (w6 + y * w7))))));
417 : 0 : r = (x - half) * (t - one) + w;
418 : : }
419 : : else
420 : : /* 2**66 <= x <= inf */
421 : 0 : r = x * (logl (x) - one);
422 [ # # ]: 0 : if (se & 0x8000)
423 : 0 : r = nadj - r;
424 : 0 : return r;
425 : : }
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