Branch data Line data Source code
1 : : /* $OpenBSD: e_powl.c,v 1.5 2013/11/12 20:35:19 martynas Exp $ */
2 : :
3 : : /*
4 : : * Copyright (c) 2008 Stephen L. Moshier <steve@moshier.net>
5 : : *
6 : : * Permission to use, copy, modify, and distribute this software for any
7 : : * purpose with or without fee is hereby granted, provided that the above
8 : : * copyright notice and this permission notice appear in all copies.
9 : : *
10 : : * THE SOFTWARE IS PROVIDED "AS IS" AND THE AUTHOR DISCLAIMS ALL WARRANTIES
11 : : * WITH REGARD TO THIS SOFTWARE INCLUDING ALL IMPLIED WARRANTIES OF
12 : : * MERCHANTABILITY AND FITNESS. IN NO EVENT SHALL THE AUTHOR BE LIABLE FOR
13 : : * ANY SPECIAL, DIRECT, INDIRECT, OR CONSEQUENTIAL DAMAGES OR ANY DAMAGES
14 : : * WHATSOEVER RESULTING FROM LOSS OF USE, DATA OR PROFITS, WHETHER IN AN
15 : : * ACTION OF CONTRACT, NEGLIGENCE OR OTHER TORTIOUS ACTION, ARISING OUT OF
16 : : * OR IN CONNECTION WITH THE USE OR PERFORMANCE OF THIS SOFTWARE.
17 : : */
18 : :
19 : : /* powl.c
20 : : *
21 : : * Power function, long double precision
22 : : *
23 : : *
24 : : *
25 : : * SYNOPSIS:
26 : : *
27 : : * long double x, y, z, powl();
28 : : *
29 : : * z = powl( x, y );
30 : : *
31 : : *
32 : : *
33 : : * DESCRIPTION:
34 : : *
35 : : * Computes x raised to the yth power. Analytically,
36 : : *
37 : : * x**y = exp( y log(x) ).
38 : : *
39 : : * Following Cody and Waite, this program uses a lookup table
40 : : * of 2**-i/32 and pseudo extended precision arithmetic to
41 : : * obtain several extra bits of accuracy in both the logarithm
42 : : * and the exponential.
43 : : *
44 : : *
45 : : *
46 : : * ACCURACY:
47 : : *
48 : : * The relative error of pow(x,y) can be estimated
49 : : * by y dl ln(2), where dl is the absolute error of
50 : : * the internally computed base 2 logarithm. At the ends
51 : : * of the approximation interval the logarithm equal 1/32
52 : : * and its relative error is about 1 lsb = 1.1e-19. Hence
53 : : * the predicted relative error in the result is 2.3e-21 y .
54 : : *
55 : : * Relative error:
56 : : * arithmetic domain # trials peak rms
57 : : *
58 : : * IEEE +-1000 40000 2.8e-18 3.7e-19
59 : : * .001 < x < 1000, with log(x) uniformly distributed.
60 : : * -1000 < y < 1000, y uniformly distributed.
61 : : *
62 : : * IEEE 0,8700 60000 6.5e-18 1.0e-18
63 : : * 0.99 < x < 1.01, 0 < y < 8700, uniformly distributed.
64 : : *
65 : : *
66 : : * ERROR MESSAGES:
67 : : *
68 : : * message condition value returned
69 : : * pow overflow x**y > MAXNUM INFINITY
70 : : * pow underflow x**y < 1/MAXNUM 0.0
71 : : * pow domain x<0 and y noninteger 0.0
72 : : *
73 : : */
74 : :
75 : : #include <float.h>
76 : : #include <openlibm_math.h>
77 : :
78 : : #include "math_private.h"
79 : :
80 : : /* Table size */
81 : : #define NXT 32
82 : : /* log2(Table size) */
83 : : #define LNXT 5
84 : :
85 : : /* log(1+x) = x - .5x^2 + x^3 * P(z)/Q(z)
86 : : * on the domain 2^(-1/32) - 1 <= x <= 2^(1/32) - 1
87 : : */
88 : : static long double P[] = {
89 : : 8.3319510773868690346226E-4L,
90 : : 4.9000050881978028599627E-1L,
91 : : 1.7500123722550302671919E0L,
92 : : 1.4000100839971580279335E0L,
93 : : };
94 : : static long double Q[] = {
95 : : /* 1.0000000000000000000000E0L,*/
96 : : 5.2500282295834889175431E0L,
97 : : 8.4000598057587009834666E0L,
98 : : 4.2000302519914740834728E0L,
99 : : };
100 : : /* A[i] = 2^(-i/32), rounded to IEEE long double precision.
101 : : * If i is even, A[i] + B[i/2] gives additional accuracy.
102 : : */
103 : : static long double A[33] = {
104 : : 1.0000000000000000000000E0L,
105 : : 9.7857206208770013448287E-1L,
106 : : 9.5760328069857364691013E-1L,
107 : : 9.3708381705514995065011E-1L,
108 : : 9.1700404320467123175367E-1L,
109 : : 8.9735453750155359320742E-1L,
110 : : 8.7812608018664974155474E-1L,
111 : : 8.5930964906123895780165E-1L,
112 : : 8.4089641525371454301892E-1L,
113 : : 8.2287773907698242225554E-1L,
114 : : 8.0524516597462715409607E-1L,
115 : : 7.8799042255394324325455E-1L,
116 : : 7.7110541270397041179298E-1L,
117 : : 7.5458221379671136985669E-1L,
118 : : 7.3841307296974965571198E-1L,
119 : : 7.2259040348852331001267E-1L,
120 : : 7.0710678118654752438189E-1L,
121 : : 6.9195494098191597746178E-1L,
122 : : 6.7712777346844636413344E-1L,
123 : : 6.6261832157987064729696E-1L,
124 : : 6.4841977732550483296079E-1L,
125 : : 6.3452547859586661129850E-1L,
126 : : 6.2092890603674202431705E-1L,
127 : : 6.0762367999023443907803E-1L,
128 : : 5.9460355750136053334378E-1L,
129 : : 5.8186242938878875689693E-1L,
130 : : 5.6939431737834582684856E-1L,
131 : : 5.5719337129794626814472E-1L,
132 : : 5.4525386633262882960438E-1L,
133 : : 5.3357020033841180906486E-1L,
134 : : 5.2213689121370692017331E-1L,
135 : : 5.1094857432705833910408E-1L,
136 : : 5.0000000000000000000000E-1L,
137 : : };
138 : : static long double B[17] = {
139 : : 0.0000000000000000000000E0L,
140 : : 2.6176170809902549338711E-20L,
141 : : -1.0126791927256478897086E-20L,
142 : : 1.3438228172316276937655E-21L,
143 : : 1.2207982955417546912101E-20L,
144 : : -6.3084814358060867200133E-21L,
145 : : 1.3164426894366316434230E-20L,
146 : : -1.8527916071632873716786E-20L,
147 : : 1.8950325588932570796551E-20L,
148 : : 1.5564775779538780478155E-20L,
149 : : 6.0859793637556860974380E-21L,
150 : : -2.0208749253662532228949E-20L,
151 : : 1.4966292219224761844552E-20L,
152 : : 3.3540909728056476875639E-21L,
153 : : -8.6987564101742849540743E-22L,
154 : : -1.2327176863327626135542E-20L,
155 : : 0.0000000000000000000000E0L,
156 : : };
157 : :
158 : : /* 2^x = 1 + x P(x),
159 : : * on the interval -1/32 <= x <= 0
160 : : */
161 : : static long double R[] = {
162 : : 1.5089970579127659901157E-5L,
163 : : 1.5402715328927013076125E-4L,
164 : : 1.3333556028915671091390E-3L,
165 : : 9.6181291046036762031786E-3L,
166 : : 5.5504108664798463044015E-2L,
167 : : 2.4022650695910062854352E-1L,
168 : : 6.9314718055994530931447E-1L,
169 : : };
170 : :
171 : : #define douba(k) A[k]
172 : : #define doubb(k) B[k]
173 : : #define MEXP (NXT*16384.0L)
174 : : /* The following if denormal numbers are supported, else -MEXP: */
175 : : #define MNEXP (-NXT*(16384.0L+64.0L))
176 : : /* log2(e) - 1 */
177 : : #define LOG2EA 0.44269504088896340735992L
178 : :
179 : : #define F W
180 : : #define Fa Wa
181 : : #define Fb Wb
182 : : #define G W
183 : : #define Ga Wa
184 : : #define Gb u
185 : : #define H W
186 : : #define Ha Wb
187 : : #define Hb Wb
188 : :
189 : : static const long double MAXLOGL = 1.1356523406294143949492E4L;
190 : : static const long double MINLOGL = -1.13994985314888605586758E4L;
191 : : static const long double LOGE2L = 6.9314718055994530941723E-1L;
192 : : static volatile long double z;
193 : : static long double w, W, Wa, Wb, ya, yb, u;
194 : : static const long double huge = 0x1p10000L;
195 : : #if 0 /* XXX Prevent gcc from erroneously constant folding this. */
196 : : static const long double twom10000 = 0x1p-10000L;
197 : : #else
198 : : static volatile long double twom10000 = 0x1p-10000L;
199 : : #endif
200 : :
201 : : static long double reducl( long double );
202 : : static long double powil ( long double, int );
203 : :
204 : : long double
205 : 0 : powl(long double x, long double y)
206 : : {
207 : : /* double F, Fa, Fb, G, Ga, Gb, H, Ha, Hb */
208 : : int i, nflg, iyflg, yoddint;
209 : : long e;
210 : :
211 [ # # ]: 0 : if( y == 0.0L )
212 : 0 : return( 1.0L );
213 : :
214 [ # # ]: 0 : if( x == 1.0L )
215 : 0 : return( 1.0L );
216 : :
217 [ # # ]: 0 : if( isnan(x) )
218 : 0 : return( x );
219 [ # # ]: 0 : if( isnan(y) )
220 : 0 : return( y );
221 : :
222 [ # # ]: 0 : if( y == 1.0L )
223 : 0 : return( x );
224 : :
225 [ # # # # ]: 0 : if( !isfinite(y) && x == -1.0L )
226 : 0 : return( 1.0L );
227 : :
228 [ # # ]: 0 : if( y >= LDBL_MAX )
229 : : {
230 [ # # ]: 0 : if( x > 1.0L )
231 : 0 : return( INFINITY );
232 [ # # # # ]: 0 : if( x > 0.0L && x < 1.0L )
233 : 0 : return( 0.0L );
234 [ # # ]: 0 : if( x < -1.0L )
235 : 0 : return( INFINITY );
236 [ # # # # ]: 0 : if( x > -1.0L && x < 0.0L )
237 : 0 : return( 0.0L );
238 : : }
239 [ # # ]: 0 : if( y <= -LDBL_MAX )
240 : : {
241 [ # # ]: 0 : if( x > 1.0L )
242 : 0 : return( 0.0L );
243 [ # # # # ]: 0 : if( x > 0.0L && x < 1.0L )
244 : 0 : return( INFINITY );
245 [ # # ]: 0 : if( x < -1.0L )
246 : 0 : return( 0.0L );
247 [ # # # # ]: 0 : if( x > -1.0L && x < 0.0L )
248 : 0 : return( INFINITY );
249 : : }
250 [ # # ]: 0 : if( x >= LDBL_MAX )
251 : : {
252 [ # # ]: 0 : if( y > 0.0L )
253 : 0 : return( INFINITY );
254 : 0 : return( 0.0L );
255 : : }
256 : :
257 : 0 : w = floorl(y);
258 : : /* Set iyflg to 1 if y is an integer. */
259 : 0 : iyflg = 0;
260 [ # # ]: 0 : if( w == y )
261 : 0 : iyflg = 1;
262 : :
263 : : /* Test for odd integer y. */
264 : 0 : yoddint = 0;
265 [ # # ]: 0 : if( iyflg )
266 : : {
267 : 0 : ya = fabsl(y);
268 : 0 : ya = floorl(0.5L * ya);
269 : 0 : yb = 0.5L * fabsl(w);
270 [ # # ]: 0 : if( ya != yb )
271 : 0 : yoddint = 1;
272 : : }
273 : :
274 [ # # ]: 0 : if( x <= -LDBL_MAX )
275 : : {
276 [ # # ]: 0 : if( y > 0.0L )
277 : : {
278 [ # # ]: 0 : if( yoddint )
279 : 0 : return( -INFINITY );
280 : 0 : return( INFINITY );
281 : : }
282 [ # # ]: 0 : if( y < 0.0L )
283 : : {
284 [ # # ]: 0 : if( yoddint )
285 : 0 : return( -0.0L );
286 : 0 : return( 0.0 );
287 : : }
288 : : }
289 : :
290 : :
291 : 0 : nflg = 0; /* flag = 1 if x<0 raised to integer power */
292 [ # # ]: 0 : if( x <= 0.0L )
293 : : {
294 [ # # ]: 0 : if( x == 0.0L )
295 : : {
296 [ # # ]: 0 : if( y < 0.0 )
297 : : {
298 [ # # # # ]: 0 : if( signbit(x) && yoddint )
299 : 0 : return( -INFINITY );
300 : 0 : return( INFINITY );
301 : : }
302 [ # # ]: 0 : if( y > 0.0 )
303 : : {
304 [ # # # # ]: 0 : if( signbit(x) && yoddint )
305 : 0 : return( -0.0L );
306 : 0 : return( 0.0 );
307 : : }
308 [ # # ]: 0 : if( y == 0.0L )
309 : 0 : return( 1.0L ); /* 0**0 */
310 : : else
311 : 0 : return( 0.0L ); /* 0**y */
312 : : }
313 : : else
314 : : {
315 [ # # ]: 0 : if( iyflg == 0 )
316 : 0 : return (x - x) / (x - x); /* (x<0)**(non-int) is NaN */
317 : 0 : nflg = 1;
318 : : }
319 : : }
320 : :
321 : : /* Integer power of an integer. */
322 : :
323 [ # # ]: 0 : if( iyflg )
324 : : {
325 : 0 : i = w;
326 : 0 : w = floorl(x);
327 [ # # # # ]: 0 : if( (w == x) && (fabsl(y) < 32768.0) )
328 : : {
329 : 0 : w = powil( x, (int) y );
330 : 0 : return( w );
331 : : }
332 : : }
333 : :
334 : :
335 [ # # ]: 0 : if( nflg )
336 : 0 : x = fabsl(x);
337 : :
338 : : /* separate significand from exponent */
339 : 0 : x = frexpl( x, &i );
340 : 0 : e = i;
341 : :
342 : : /* find significand in antilog table A[] */
343 : 0 : i = 1;
344 [ # # ]: 0 : if( x <= douba(17) )
345 : 0 : i = 17;
346 [ # # ]: 0 : if( x <= douba(i+8) )
347 : 0 : i += 8;
348 [ # # ]: 0 : if( x <= douba(i+4) )
349 : 0 : i += 4;
350 [ # # ]: 0 : if( x <= douba(i+2) )
351 : 0 : i += 2;
352 [ # # ]: 0 : if( x >= douba(1) )
353 : 0 : i = -1;
354 : 0 : i += 1;
355 : :
356 : :
357 : : /* Find (x - A[i])/A[i]
358 : : * in order to compute log(x/A[i]):
359 : : *
360 : : * log(x) = log( a x/a ) = log(a) + log(x/a)
361 : : *
362 : : * log(x/a) = log(1+v), v = x/a - 1 = (x-a)/a
363 : : */
364 : 0 : x -= douba(i);
365 : 0 : x -= doubb(i/2);
366 : 0 : x /= douba(i);
367 : :
368 : :
369 : : /* rational approximation for log(1+v):
370 : : *
371 : : * log(1+v) = v - v**2/2 + v**3 P(v) / Q(v)
372 : : */
373 : 0 : z = x*x;
374 : 0 : w = x * ( z * __polevll( x, P, 3 ) / __p1evll( x, Q, 3 ) );
375 : 0 : w = w - ldexpl( z, -1 ); /* w - 0.5 * z */
376 : :
377 : : /* Convert to base 2 logarithm:
378 : : * multiply by log2(e) = 1 + LOG2EA
379 : : */
380 : 0 : z = LOG2EA * w;
381 : 0 : z += w;
382 : 0 : z += LOG2EA * x;
383 : 0 : z += x;
384 : :
385 : : /* Compute exponent term of the base 2 logarithm. */
386 : 0 : w = -i;
387 : 0 : w = ldexpl( w, -LNXT ); /* divide by NXT */
388 : 0 : w += e;
389 : : /* Now base 2 log of x is w + z. */
390 : :
391 : : /* Multiply base 2 log by y, in extended precision. */
392 : :
393 : : /* separate y into large part ya
394 : : * and small part yb less than 1/NXT
395 : : */
396 : 0 : ya = reducl(y);
397 : 0 : yb = y - ya;
398 : :
399 : : /* (w+z)(ya+yb)
400 : : * = w*ya + w*yb + z*y
401 : : */
402 : 0 : F = z * y + w * yb;
403 : 0 : Fa = reducl(F);
404 : 0 : Fb = F - Fa;
405 : :
406 : 0 : G = Fa + w * ya;
407 : 0 : Ga = reducl(G);
408 : 0 : Gb = G - Ga;
409 : :
410 : 0 : H = Fb + Gb;
411 : 0 : Ha = reducl(H);
412 : 0 : w = ldexpl( Ga+Ha, LNXT );
413 : :
414 : : /* Test the power of 2 for overflow */
415 [ # # ]: 0 : if( w > MEXP )
416 : 0 : return (huge * huge); /* overflow */
417 : :
418 [ # # ]: 0 : if( w < MNEXP )
419 : 0 : return (twom10000 * twom10000); /* underflow */
420 : :
421 : 0 : e = w;
422 : 0 : Hb = H - Ha;
423 : :
424 [ # # ]: 0 : if( Hb > 0.0L )
425 : : {
426 : 0 : e += 1;
427 : 0 : Hb -= (1.0L/NXT); /*0.0625L;*/
428 : : }
429 : :
430 : : /* Now the product y * log2(x) = Hb + e/NXT.
431 : : *
432 : : * Compute base 2 exponential of Hb,
433 : : * where -0.0625 <= Hb <= 0.
434 : : */
435 : 0 : z = Hb * __polevll( Hb, R, 6 ); /* z = 2**Hb - 1 */
436 : :
437 : : /* Express e/NXT as an integer plus a negative number of (1/NXT)ths.
438 : : * Find lookup table entry for the fractional power of 2.
439 : : */
440 [ # # ]: 0 : if( e < 0 )
441 : 0 : i = 0;
442 : : else
443 : 0 : i = 1;
444 : 0 : i = e/NXT + i;
445 : 0 : e = NXT*i - e;
446 : 0 : w = douba( e );
447 : 0 : z = w * z; /* 2**-e * ( 1 + (2**Hb-1) ) */
448 : 0 : z = z + w;
449 : 0 : z = ldexpl( z, i ); /* multiply by integer power of 2 */
450 : :
451 [ # # ]: 0 : if( nflg )
452 : : {
453 : : /* For negative x,
454 : : * find out if the integer exponent
455 : : * is odd or even.
456 : : */
457 : 0 : w = ldexpl( y, -1 );
458 : 0 : w = floorl(w);
459 : 0 : w = ldexpl( w, 1 );
460 [ # # ]: 0 : if( w != y )
461 : 0 : z = -z; /* odd exponent */
462 : : }
463 : :
464 : 0 : return( z );
465 : : }
466 : :
467 : :
468 : : /* Find a multiple of 1/NXT that is within 1/NXT of x. */
469 : : static long double
470 : 0 : reducl(long double x)
471 : : {
472 : : long double t;
473 : :
474 : 0 : t = ldexpl( x, LNXT );
475 : 0 : t = floorl( t );
476 : 0 : t = ldexpl( t, -LNXT );
477 : 0 : return(t);
478 : : }
479 : :
480 : : /* powil.c
481 : : *
482 : : * Real raised to integer power, long double precision
483 : : *
484 : : *
485 : : *
486 : : * SYNOPSIS:
487 : : *
488 : : * long double x, y, powil();
489 : : * int n;
490 : : *
491 : : * y = powil( x, n );
492 : : *
493 : : *
494 : : *
495 : : * DESCRIPTION:
496 : : *
497 : : * Returns argument x raised to the nth power.
498 : : * The routine efficiently decomposes n as a sum of powers of
499 : : * two. The desired power is a product of two-to-the-kth
500 : : * powers of x. Thus to compute the 32767 power of x requires
501 : : * 28 multiplications instead of 32767 multiplications.
502 : : *
503 : : *
504 : : *
505 : : * ACCURACY:
506 : : *
507 : : *
508 : : * Relative error:
509 : : * arithmetic x domain n domain # trials peak rms
510 : : * IEEE .001,1000 -1022,1023 50000 4.3e-17 7.8e-18
511 : : * IEEE 1,2 -1022,1023 20000 3.9e-17 7.6e-18
512 : : * IEEE .99,1.01 0,8700 10000 3.6e-16 7.2e-17
513 : : *
514 : : * Returns MAXNUM on overflow, zero on underflow.
515 : : *
516 : : */
517 : :
518 : : static long double
519 : 0 : powil(long double x, int nn)
520 : : {
521 : : long double ww, y;
522 : : long double s;
523 : : int n, e, sign, asign, lx;
524 : :
525 [ # # ]: 0 : if( x == 0.0L )
526 : : {
527 [ # # ]: 0 : if( nn == 0 )
528 : 0 : return( 1.0L );
529 [ # # ]: 0 : else if( nn < 0 )
530 : 0 : return( LDBL_MAX );
531 : : else
532 : 0 : return( 0.0L );
533 : : }
534 : :
535 [ # # ]: 0 : if( nn == 0 )
536 : 0 : return( 1.0L );
537 : :
538 : :
539 [ # # ]: 0 : if( x < 0.0L )
540 : : {
541 : 0 : asign = -1;
542 : 0 : x = -x;
543 : : }
544 : : else
545 : 0 : asign = 0;
546 : :
547 : :
548 [ # # ]: 0 : if( nn < 0 )
549 : : {
550 : 0 : sign = -1;
551 : 0 : n = -nn;
552 : : }
553 : : else
554 : : {
555 : 0 : sign = 1;
556 : 0 : n = nn;
557 : : }
558 : :
559 : : /* Overflow detection */
560 : :
561 : : /* Calculate approximate logarithm of answer */
562 : 0 : s = x;
563 : 0 : s = frexpl( s, &lx );
564 : 0 : e = (lx - 1)*n;
565 [ # # # # : 0 : if( (e == 0) || (e > 64) || (e < -64) )
# # ]
566 : : {
567 : 0 : s = (s - 7.0710678118654752e-1L) / (s + 7.0710678118654752e-1L);
568 : 0 : s = (2.9142135623730950L * s - 0.5L + lx) * nn * LOGE2L;
569 : : }
570 : : else
571 : : {
572 : 0 : s = LOGE2L * e;
573 : : }
574 : :
575 [ # # ]: 0 : if( s > MAXLOGL )
576 : 0 : return (huge * huge); /* overflow */
577 : :
578 [ # # ]: 0 : if( s < MINLOGL )
579 : 0 : return (twom10000 * twom10000); /* underflow */
580 : : /* Handle tiny denormal answer, but with less accuracy
581 : : * since roundoff error in 1.0/x will be amplified.
582 : : * The precise demarcation should be the gradual underflow threshold.
583 : : */
584 [ # # ]: 0 : if( s < (-MAXLOGL+2.0L) )
585 : : {
586 : 0 : x = 1.0L/x;
587 : 0 : sign = -sign;
588 : : }
589 : :
590 : : /* First bit of the power */
591 [ # # ]: 0 : if( n & 1 )
592 : 0 : y = x;
593 : :
594 : : else
595 : : {
596 : 0 : y = 1.0L;
597 : 0 : asign = 0;
598 : : }
599 : :
600 : 0 : ww = x;
601 : 0 : n >>= 1;
602 [ # # ]: 0 : while( n )
603 : : {
604 : 0 : ww = ww * ww; /* arg to the 2-to-the-kth power */
605 [ # # ]: 0 : if( n & 1 ) /* if that bit is set, then include in product */
606 : 0 : y *= ww;
607 : 0 : n >>= 1;
608 : : }
609 : :
610 [ # # ]: 0 : if( asign )
611 : 0 : y = -y; /* odd power of negative number */
612 [ # # ]: 0 : if( sign < 0 )
613 : 0 : y = 1.0L/y;
614 : 0 : return(y);
615 : : }
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