Branch data Line data Source code
1 : :
2 : : /* @(#)e_exp.c 1.6 04/04/22 */
3 : : /*
4 : : * ====================================================
5 : : * Copyright (C) 2004 by Sun Microsystems, Inc. All rights reserved.
6 : : *
7 : : * Permission to use, copy, modify, and distribute this
8 : : * software is freely granted, provided that this notice
9 : : * is preserved.
10 : : * ====================================================
11 : : */
12 : :
13 : : #include "cdefs-compat.h"
14 : : //__FBSDID("$FreeBSD: src/lib/msun/src/e_exp.c,v 1.14 2011/10/21 06:26:38 das Exp $");
15 : :
16 : : /* __ieee754_exp(x)
17 : : * Returns the exponential of x.
18 : : *
19 : : * Method
20 : : * 1. Argument reduction:
21 : : * Reduce x to an r so that |r| <= 0.5*ln2 ~ 0.34658.
22 : : * Given x, find r and integer k such that
23 : : *
24 : : * x = k*ln2 + r, |r| <= 0.5*ln2.
25 : : *
26 : : * Here r will be represented as r = hi-lo for better
27 : : * accuracy.
28 : : *
29 : : * 2. Approximation of exp(r) by a special rational function on
30 : : * the interval [0,0.34658]:
31 : : * Write
32 : : * R(r**2) = r*(exp(r)+1)/(exp(r)-1) = 2 + r*r/6 - r**4/360 + ...
33 : : * We use a special Remes algorithm on [0,0.34658] to generate
34 : : * a polynomial of degree 5 to approximate R. The maximum error
35 : : * of this polynomial approximation is bounded by 2**-59. In
36 : : * other words,
37 : : * R(z) ~ 2.0 + P1*z + P2*z**2 + P3*z**3 + P4*z**4 + P5*z**5
38 : : * (where z=r*r, and the values of P1 to P5 are listed below)
39 : : * and
40 : : * | 5 | -59
41 : : * | 2.0+P1*z+...+P5*z - R(z) | <= 2
42 : : * | |
43 : : * The computation of exp(r) thus becomes
44 : : * 2*r
45 : : * exp(r) = 1 + -------
46 : : * R - r
47 : : * r*R1(r)
48 : : * = 1 + r + ----------- (for better accuracy)
49 : : * 2 - R1(r)
50 : : * where
51 : : * 2 4 10
52 : : * R1(r) = r - (P1*r + P2*r + ... + P5*r ).
53 : : *
54 : : * 3. Scale back to obtain exp(x):
55 : : * From step 1, we have
56 : : * exp(x) = 2^k * exp(r)
57 : : *
58 : : * Special cases:
59 : : * exp(INF) is INF, exp(NaN) is NaN;
60 : : * exp(-INF) is 0, and
61 : : * for finite argument, only exp(0)=1 is exact.
62 : : *
63 : : * Accuracy:
64 : : * according to an error analysis, the error is always less than
65 : : * 1 ulp (unit in the last place).
66 : : *
67 : : * Misc. info.
68 : : * For IEEE double
69 : : * if x > 7.09782712893383973096e+02 then exp(x) overflow
70 : : * if x < -7.45133219101941108420e+02 then exp(x) underflow
71 : : *
72 : : * Constants:
73 : : * The hexadecimal values are the intended ones for the following
74 : : * constants. The decimal values may be used, provided that the
75 : : * compiler will convert from decimal to binary accurately enough
76 : : * to produce the hexadecimal values shown.
77 : : */
78 : :
79 : : #include <float.h>
80 : : #include <openlibm_math.h>
81 : :
82 : : #include "math_private.h"
83 : :
84 : : static const double
85 : : one = 1.0,
86 : : halF[2] = {0.5,-0.5,},
87 : : huge = 1.0e+300,
88 : : o_threshold= 7.09782712893383973096e+02, /* 0x40862E42, 0xFEFA39EF */
89 : : u_threshold= -7.45133219101941108420e+02, /* 0xc0874910, 0xD52D3051 */
90 : : ln2HI[2] ={ 6.93147180369123816490e-01, /* 0x3fe62e42, 0xfee00000 */
91 : : -6.93147180369123816490e-01,},/* 0xbfe62e42, 0xfee00000 */
92 : : ln2LO[2] ={ 1.90821492927058770002e-10, /* 0x3dea39ef, 0x35793c76 */
93 : : -1.90821492927058770002e-10,},/* 0xbdea39ef, 0x35793c76 */
94 : : invln2 = 1.44269504088896338700e+00, /* 0x3ff71547, 0x652b82fe */
95 : : P1 = 1.66666666666666019037e-01, /* 0x3FC55555, 0x5555553E */
96 : : P2 = -2.77777777770155933842e-03, /* 0xBF66C16C, 0x16BEBD93 */
97 : : P3 = 6.61375632143793436117e-05, /* 0x3F11566A, 0xAF25DE2C */
98 : : P4 = -1.65339022054652515390e-06, /* 0xBEBBBD41, 0xC5D26BF1 */
99 : : P5 = 4.13813679705723846039e-08; /* 0x3E663769, 0x72BEA4D0 */
100 : :
101 : : static volatile double
102 : : twom1000= 9.33263618503218878990e-302; /* 2**-1000=0x01700000,0*/
103 : :
104 : : OLM_DLLEXPORT double
105 : 23 : __ieee754_exp(double x) /* default IEEE double exp */
106 : : {
107 : 23 : double y,hi=0.0,lo=0.0,c,t,twopk;
108 : 23 : int32_t k=0,xsb;
109 : : u_int32_t hx;
110 : :
111 : 23 : GET_HIGH_WORD(hx,x);
112 : 23 : xsb = (hx>>31)&1; /* sign bit of x */
113 : 23 : hx &= 0x7fffffff; /* high word of |x| */
114 : :
115 : : /* filter out non-finite argument */
116 [ + + ]: 23 : if(hx >= 0x40862E42) { /* if |x|>=709.78... */
117 [ + - ]: 3 : if(hx>=0x7ff00000) {
118 : : u_int32_t lx;
119 : 3 : GET_LOW_WORD(lx,x);
120 [ + + ]: 3 : if(((hx&0xfffff)|lx)!=0)
121 : 1 : return x+x; /* NaN */
122 [ + + ]: 2 : else return (xsb==0)? x:0.0; /* exp(+-inf)={inf,0} */
123 : : }
124 [ # # ]: 0 : if(x > o_threshold) return huge*huge; /* overflow */
125 [ # # ]: 0 : if(x < u_threshold) return twom1000*twom1000; /* underflow */
126 : : }
127 : :
128 : : /* this implementation gives 2.7182818284590455 for exp(1.0),
129 : : which is well within the allowable error. however,
130 : : 2.718281828459045 is closer to the true value so we prefer that
131 : : answer, given that 1.0 is such an important argument value. */
132 [ + + ]: 20 : if (x == 1.0)
133 : 1 : return 2.718281828459045235360;
134 : :
135 : : /* argument reduction */
136 [ + + ]: 19 : if(hx > 0x3fd62e42) { /* if |x| > 0.5 ln2 */
137 [ + + ]: 11 : if(hx < 0x3FF0A2B2) { /* and |x| < 1.5 ln2 */
138 : 3 : hi = x-ln2HI[xsb]; lo=ln2LO[xsb]; k = 1-xsb-xsb;
139 : : } else {
140 : 8 : k = (int)(invln2*x+halF[xsb]);
141 : 8 : t = k;
142 : 8 : hi = x - t*ln2HI[0]; /* t*ln2HI is exact here */
143 : 8 : lo = t*ln2LO[0];
144 : : }
145 : 11 : STRICT_ASSIGN(double, x, hi - lo);
146 : : }
147 [ + + ]: 8 : else if(hx < 0x3e300000) { /* when |x|<2**-28 */
148 [ + - ]: 3 : if(huge+x>one) return one+x;/* trigger inexact */
149 : : }
150 : 5 : else k = 0;
151 : :
152 : : /* x is now in primary range */
153 : 16 : t = x*x;
154 [ + - ]: 16 : if(k >= -1021)
155 : 16 : INSERT_WORDS(twopk,0x3ff00000+(k<<20), 0);
156 : : else
157 : 0 : INSERT_WORDS(twopk,0x3ff00000+((k+1000)<<20), 0);
158 : 16 : c = x - t*(P1+t*(P2+t*(P3+t*(P4+t*P5))));
159 [ + + ]: 16 : if(k==0) return one-((x*c)/(c-2.0)-x);
160 : 11 : else y = one-((lo-(x*c)/(2.0-c))-hi);
161 [ + - ]: 11 : if(k >= -1021) {
162 [ - + ]: 11 : if (k==1024) return y*2.0*0x1p1023;
163 : 11 : return y*twopk;
164 : : } else {
165 : 0 : return y*twopk*twom1000;
166 : : }
167 : : }
168 : :
169 : : #if (LDBL_MANT_DIG == 53)
170 : : openlibm_weak_reference(exp, expl);
171 : : #endif
|
