Branch data Line data Source code
1 : :
2 : : /* @(#)e_jn.c 1.4 95/01/18 */
3 : : /*
4 : : * ====================================================
5 : : * Copyright (C) 1993 by Sun Microsystems, Inc. All rights reserved.
6 : : *
7 : : * Developed at SunSoft, a Sun Microsystems, Inc. business.
8 : : * Permission to use, copy, modify, and distribute this
9 : : * software is freely granted, provided that this notice
10 : : * is preserved.
11 : : * ====================================================
12 : : */
13 : :
14 : : #include "cdefs-compat.h"
15 : : //__FBSDID("$FreeBSD: src/lib/msun/src/e_jn.c,v 1.11 2010/11/13 10:54:10 uqs Exp $");
16 : :
17 : : /*
18 : : * __ieee754_jn(n, x), __ieee754_yn(n, x)
19 : : * floating point Bessel's function of the 1st and 2nd kind
20 : : * of order n
21 : : *
22 : : * Special cases:
23 : : * y0(0)=y1(0)=yn(n,0) = -inf with division by zero signal;
24 : : * y0(-ve)=y1(-ve)=yn(n,-ve) are NaN with invalid signal.
25 : : * Note 2. About jn(n,x), yn(n,x)
26 : : * For n=0, j0(x) is called,
27 : : * for n=1, j1(x) is called,
28 : : * for n<x, forward recursion us used starting
29 : : * from values of j0(x) and j1(x).
30 : : * for n>x, a continued fraction approximation to
31 : : * j(n,x)/j(n-1,x) is evaluated and then backward
32 : : * recursion is used starting from a supposed value
33 : : * for j(n,x). The resulting value of j(0,x) is
34 : : * compared with the actual value to correct the
35 : : * supposed value of j(n,x).
36 : : *
37 : : * yn(n,x) is similar in all respects, except
38 : : * that forward recursion is used for all
39 : : * values of n>1.
40 : : *
41 : : */
42 : :
43 : : #include <openlibm_math.h>
44 : :
45 : : #include "math_private.h"
46 : :
47 : : static const double
48 : : invsqrtpi= 5.64189583547756279280e-01, /* 0x3FE20DD7, 0x50429B6D */
49 : : two = 2.00000000000000000000e+00, /* 0x40000000, 0x00000000 */
50 : : one = 1.00000000000000000000e+00; /* 0x3FF00000, 0x00000000 */
51 : :
52 : : static const double zero = 0.00000000000000000000e+00;
53 : :
54 : : OLM_DLLEXPORT double
55 : 41 : __ieee754_jn(int n, double x)
56 : : {
57 : : int32_t i,hx,ix,lx, sgn;
58 : : double a, b, temp, di;
59 : : double z, w;
60 : :
61 : : /* J(-n,x) = (-1)^n * J(n, x), J(n, -x) = (-1)^n * J(n, x)
62 : : * Thus, J(-n,x) = J(n,-x)
63 : : */
64 : 41 : EXTRACT_WORDS(hx,lx,x);
65 : 41 : ix = 0x7fffffff&hx;
66 : : /* if J(n,NaN) is NaN */
67 [ + + ]: 41 : if((ix|((u_int32_t)(lx|-lx))>>31)>0x7ff00000) return x+x;
68 [ - + ]: 37 : if(n<0){
69 : 0 : n = -n;
70 : 0 : x = -x;
71 : 0 : hx ^= 0x80000000;
72 : : }
73 [ + + ]: 37 : if(n==0) return(__ieee754_j0(x));
74 [ + + ]: 27 : if(n==1) return(__ieee754_j1(x));
75 : 16 : sgn = (n&1)&(hx>>31); /* even n -- 0, odd n -- sign(x) */
76 : 16 : x = fabs(x);
77 [ + + + + ]: 16 : if((ix|lx)==0||ix>=0x7ff00000) /* if x is 0 or inf */
78 : 4 : b = zero;
79 [ + + ]: 12 : else if((double)n<=x) {
80 : : /* Safe to use J(n+1,x)=2n/x *J(n,x)-J(n-1,x) */
81 [ - + ]: 2 : if(ix>=0x52D00000) { /* x > 2**302 */
82 : : /* (x >> n**2)
83 : : * Jn(x) = cos(x-(2n+1)*pi/4)*sqrt(2/x*pi)
84 : : * Yn(x) = sin(x-(2n+1)*pi/4)*sqrt(2/x*pi)
85 : : * Let s=sin(x), c=cos(x),
86 : : * xn=x-(2n+1)*pi/4, sqt2 = sqrt(2),then
87 : : *
88 : : * n sin(xn)*sqt2 cos(xn)*sqt2
89 : : * ----------------------------------
90 : : * 0 s-c c+s
91 : : * 1 -s-c -c+s
92 : : * 2 -s+c -c-s
93 : : * 3 s+c c-s
94 : : */
95 [ # # # # : 0 : switch(n&3) {
# ]
96 : 0 : case 0: temp = cos(x)+sin(x); break;
97 : 0 : case 1: temp = -cos(x)+sin(x); break;
98 : 0 : case 2: temp = -cos(x)-sin(x); break;
99 : 0 : case 3: temp = cos(x)-sin(x); break;
100 : : }
101 : 0 : b = invsqrtpi*temp/sqrt(x);
102 : : } else {
103 : 2 : a = __ieee754_j0(x);
104 : 2 : b = __ieee754_j1(x);
105 [ + + ]: 13 : for(i=1;i<n;i++){
106 : 11 : temp = b;
107 : 11 : b = b*((double)(i+i)/x) - a; /* avoid underflow */
108 : 11 : a = temp;
109 : : }
110 : : }
111 : : } else {
112 [ - + ]: 10 : if(ix<0x3e100000) { /* x < 2**-29 */
113 : : /* x is tiny, return the first Taylor expansion of J(n,x)
114 : : * J(n,x) = 1/n!*(x/2)^n - ...
115 : : */
116 [ # # ]: 0 : if(n>33) /* underflow */
117 : 0 : b = zero;
118 : : else {
119 : 0 : temp = x*0.5; b = temp;
120 [ # # ]: 0 : for (a=one,i=2;i<=n;i++) {
121 : 0 : a *= (double)i; /* a = n! */
122 : 0 : b *= temp; /* b = (x/2)^n */
123 : : }
124 : 0 : b = b/a;
125 : : }
126 : : } else {
127 : : /* use backward recurrence */
128 : : /* x x^2 x^2
129 : : * J(n,x)/J(n-1,x) = ---- ------ ------ .....
130 : : * 2n - 2(n+1) - 2(n+2)
131 : : *
132 : : * 1 1 1
133 : : * (for large x) = ---- ------ ------ .....
134 : : * 2n 2(n+1) 2(n+2)
135 : : * -- - ------ - ------ -
136 : : * x x x
137 : : *
138 : : * Let w = 2n/x and h=2/x, then the above quotient
139 : : * is equal to the continued fraction:
140 : : * 1
141 : : * = -----------------------
142 : : * 1
143 : : * w - -----------------
144 : : * 1
145 : : * w+h - ---------
146 : : * w+2h - ...
147 : : *
148 : : * To determine how many terms needed, let
149 : : * Q(0) = w, Q(1) = w(w+h) - 1,
150 : : * Q(k) = (w+k*h)*Q(k-1) - Q(k-2),
151 : : * When Q(k) > 1e4 good for single
152 : : * When Q(k) > 1e9 good for double
153 : : * When Q(k) > 1e17 good for quadruple
154 : : */
155 : : /* determine k */
156 : : double t,v;
157 : : double q0,q1,h,tmp; int32_t k,m;
158 : 10 : w = (n+n)/(double)x; h = 2.0/(double)x;
159 : 10 : q0 = w; z = w+h; q1 = w*z - 1.0; k=1;
160 [ + + ]: 65 : while(q1<1.0e9) {
161 : 55 : k += 1; z += h;
162 : 55 : tmp = z*q1 - q0;
163 : 55 : q0 = q1;
164 : 55 : q1 = tmp;
165 : : }
166 : 10 : m = n+n;
167 [ + + ]: 85 : for(t=zero, i = 2*(n+k); i>=m; i -= 2) t = one/(i/x-t);
168 : 10 : a = t;
169 : 10 : b = one;
170 : : /* estimate log((2/x)^n*n!) = n*log(2/x)+n*ln(n)
171 : : * Hence, if n*(log(2n/x)) > ...
172 : : * single 8.8722839355e+01
173 : : * double 7.09782712893383973096e+02
174 : : * long double 1.1356523406294143949491931077970765006170e+04
175 : : * then recurrent value may overflow and the result is
176 : : * likely underflow to zero
177 : : */
178 : 10 : tmp = n;
179 : 10 : v = two/x;
180 : 10 : tmp = tmp*__ieee754_log(fabs(v*tmp));
181 [ + - ]: 10 : if(tmp<7.09782712893383973096e+02) {
182 [ + + ]: 65 : for(i=n-1,di=(double)(i+i);i>0;i--){
183 : 55 : temp = b;
184 : 55 : b *= di;
185 : 55 : b = b/x - a;
186 : 55 : a = temp;
187 : 55 : di -= two;
188 : : }
189 : : } else {
190 [ # # ]: 0 : for(i=n-1,di=(double)(i+i);i>0;i--){
191 : 0 : temp = b;
192 : 0 : b *= di;
193 : 0 : b = b/x - a;
194 : 0 : a = temp;
195 : 0 : di -= two;
196 : : /* scale b to avoid spurious overflow */
197 [ # # ]: 0 : if(b>1e100) {
198 : 0 : a /= b;
199 : 0 : t /= b;
200 : 0 : b = one;
201 : : }
202 : : }
203 : : }
204 : 10 : z = __ieee754_j0(x);
205 : 10 : w = __ieee754_j1(x);
206 [ + + ]: 10 : if (fabs(z) >= fabs(w))
207 : 8 : b = (t*z/b);
208 : : else
209 : 2 : b = (t*w/a);
210 : : }
211 : : }
212 [ + + ]: 16 : if(sgn==1) return -b; else return b;
213 : : }
214 : :
215 : : OLM_DLLEXPORT double
216 : 37 : __ieee754_yn(int n, double x)
217 : : {
218 : : int32_t i,hx,ix,lx;
219 : : int32_t sign;
220 : : double a, b, temp;
221 : :
222 : 37 : EXTRACT_WORDS(hx,lx,x);
223 : 37 : ix = 0x7fffffff&hx;
224 : : /* if Y(n,NaN) is NaN */
225 [ + + ]: 37 : if((ix|((u_int32_t)(lx|-lx))>>31)>0x7ff00000) return x+x;
226 [ + + ]: 33 : if((ix|lx)==0) return -one/zero;
227 [ + + ]: 31 : if(hx<0) return zero/zero;
228 : 29 : sign = 1;
229 [ - + ]: 29 : if(n<0){
230 : 0 : n = -n;
231 : 0 : sign = 1 - ((n&1)<<1);
232 : : }
233 [ + + ]: 29 : if(n==0) return(__ieee754_y0(x));
234 [ + + ]: 21 : if(n==1) return(sign*__ieee754_y1(x));
235 [ + + ]: 12 : if(ix==0x7ff00000) return zero;
236 [ - + ]: 10 : if(ix>=0x52D00000) { /* x > 2**302 */
237 : : /* (x >> n**2)
238 : : * Jn(x) = cos(x-(2n+1)*pi/4)*sqrt(2/x*pi)
239 : : * Yn(x) = sin(x-(2n+1)*pi/4)*sqrt(2/x*pi)
240 : : * Let s=sin(x), c=cos(x),
241 : : * xn=x-(2n+1)*pi/4, sqt2 = sqrt(2),then
242 : : *
243 : : * n sin(xn)*sqt2 cos(xn)*sqt2
244 : : * ----------------------------------
245 : : * 0 s-c c+s
246 : : * 1 -s-c -c+s
247 : : * 2 -s+c -c-s
248 : : * 3 s+c c-s
249 : : */
250 [ # # # # : 0 : switch(n&3) {
# ]
251 : 0 : case 0: temp = sin(x)-cos(x); break;
252 : 0 : case 1: temp = -sin(x)-cos(x); break;
253 : 0 : case 2: temp = -sin(x)+cos(x); break;
254 : 0 : case 3: temp = sin(x)+cos(x); break;
255 : : }
256 : 0 : b = invsqrtpi*temp/sqrt(x);
257 : : } else {
258 : : u_int32_t high;
259 : 10 : a = __ieee754_y0(x);
260 : 10 : b = __ieee754_y1(x);
261 : : /* quit if b is -inf */
262 : 10 : GET_HIGH_WORD(high,b);
263 [ + + + - ]: 65 : for(i=1;i<n&&high!=0xfff00000;i++){
264 : 55 : temp = b;
265 : 55 : b = ((double)(i+i)/x)*b - a;
266 : 55 : GET_HIGH_WORD(high,b);
267 : 55 : a = temp;
268 : : }
269 : : }
270 [ + - ]: 10 : if(sign>0) return b; else return -b;
271 : : }
|
